题目内容

设M是由满足下列两个条件的函数f(x)构成的集合：

①议程f(x)－x＝0有实根；②函数f(x)的导数(x)满足0＜(x)＜1．

(Ⅰ)若，判断方程f(x)－x＝0的根的个数；

(Ⅱ)判断(Ⅰ)中的函数f(x)是否为集合M的元素；

(Ⅲ)对于M中的任意函数f(x)，设x₁是方程f(x)－x＝0的实根，求证：对于f(x)定义域中任意的x₂，x₃，当|x₂－x₁|＜1，且|x₃－x₁|＜1时，有|f(x₃)－f(x₂)|＜2．

答案：
解析：

　　解：(1)令

　　则

　　是单调递减函数．　　2分

　　又取

　　在其定义域上有唯一实根．　　4分

　　(2)由(I)知方程有实根(或者由，易知x＝0就是方程的一个根)，满足条件①．　　5分

　　

　　满足条件②．故是集合M中的元素．　　7分

　　(3)不妨设在其定义域上是增函数．

　　　　8分

　　是其定义域上的减函数．

　　．　　10分

　　

　　　　12分

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（1）方程f（x）-1=0有实数解；
（2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数：
①f（x）=x+sinx；
②f(x)=x+tanx，x∈(-

)；
③f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2^x．
其中是集合M中的元素的有

．（只需填写函数的序号）

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（2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数：
①f（x）=x+sinx；
② $数学公式$ ；
③f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2^x．
其中是集合M中的元素的有________．（只需填写函数的序号）

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①f（x）=x+sinx；
②f(x)=x+tanx，x∈(-

)；
③f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2^x．
其中是集合M中的元素的有______．（只需填写函数的序号）

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①f（x）=x+sinx；
②

；
③f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2^x．
其中是集合M中的元素的有．（只需填写函数的序号）