Question

设M是由满足下列两个条件的函数f（x）构成的集合：
（1）方程f（x）-1=0有实数解；
（2）函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜2，给出如下函数：
①f（x）=x+sinx；
②；
③f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞）；
④f（x）=x+2^x．
其中是集合M中的元素的有________．（只需填写函数的序号）

Answer 1

解：①∵f（x）=x+sinx，∴由f（x）-1=0，得x-1+sinx=0
分别做出函数y=x-1和y=sinx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1-cosx，-1≤cosx≤1，
∴0≤f（x）≤2，即条件（2）不成立．
故①不是集合M中的元素．
②∵，
∴由f（x）-1=0，得x+tanx-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=tanx的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+，∴条件（2）不成立．
故②不是集合M中的元素．
③∵f（x）=x+log₃x，x∈[1，+∞），
∴由f（x）-1=0，得x+log₃x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=log₃x的图象知，二者有两个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵，∴条件（2）成立．
故③是集合M中的元素．
④∵f（x）=x+2^x．∴由f（x）-1=0，得x+2^x-1=0，
分别做出函数y=x-1和y=2^x的图象知，二者有一个交点，
∴方程f（x）-1=0有实数解．即条件（1）成立．
∵f'（x）=1+2^xln2，∴条件（2）不成立．
故④不是集合M中的元素．
故答案为③．
分析：条件（1）可以利用函数的零点判断根的问题，条件（2）先求出每一个函数导数，后可以代入特殊值进行检验筛选．
点评：本题考查导数的运算，解题时要认真审题，注意零点的运用．