Question

设M是由满足下列两个条件的函数构成的集合：

       ①议程有实根；②函数的导数满足0<<1.

   （I）若，判断方程的根的个数；

   （II）判断（I）中的函数是否为集合M的元素；

   （III）对于M中的任意函数，设x₁是方程的实根，求证：对于定义域中任意的x₂，x₃，当| x₂－x₁|<1，且| x₃－x₁|<1时，有

Answer 1

（1）唯一  （2）是

解析:

（I）令

       则

       是单调递减函数.

       又取

       在其定义域上有唯一实根.

   （II）由（I）知方程有实根（或者由，易知x=0就是方程的一个根），满足条件①.

      

       满足条件②.故是集合M中的元素.

   （III）不妨设在其定义域上是增函数.

      

       是其定义域上的减函数.

       .