题目内容
已知等差数列an中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列an的通项公式；
（2）设由
（c≠0）构成的新数列为bn，求证：当且仅当
时，数列bn是等差数列；（3）对于（2）中的等差数列bn，设
（n∈N*），数列cn的前n项和为Tn，现有数列f（n），
（n∈N*），求证：存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，并求出M的最小值．
【答案】分析：（1）根据题意，由等差数列的性质，有a1+a4=a2+a3=14，与a2•a3=45联立，计算可得数列{an}的通项公式；
（2）首先计算Sn，代入数列
，可得其通项公式，运用等差中项的性质分析，可得答案．
（3）根据题意，对于存在性问题，可先假设存在，即存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，再将数列{an}的通项公式代入bn可得bn的通项公式，进而运算消项求和法，求出M的最小值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）∵等差数列an中，公差d＞0，
∴
（4分）
（2）
，
=
，（6分）
由2b2=b1+b3得
，化简得2c2+c=0，c≠0，∴
（8分）
反之，令
，即得bn=2n，显然数列bn为等差数列，
∴当且仅当
时，数列bn为等差数列．（10分）
（3）∵
∴
（12分）
∵
，而n≥2时
∴f（n）在n≥2时为单调递减数列，此时f（n）max=f（2）=2（14分）
∴存在不小于2的整数，使f（n）≤2对一切n∈N*都成立，Mmin=2（16分）
点评：本题考查等差数列的通项公式的运用，注意结合等差数列的性质分析，可以减少运算量，降低难度．
（2）首先计算Sn，代入数列
，可得其通项公式，运用等差中项的性质分析，可得答案．（3）根据题意，对于存在性问题，可先假设存在，即存在整数M，使f（n）≤M对一切n∈N*都成立，再将数列{an}的通项公式代入bn可得bn的通项公式，进而运算消项求和法，求出M的最小值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）∵等差数列an中，公差d＞0，
∴
（4分）（2）
，=，（6分）由2b2=b1+b3得
，化简得2c2+c=0，c≠0，∴（8分）反之，令
，即得bn=2n，显然数列bn为等差数列，∴当且仅当
时，数列bn为等差数列．（10分）（3）∵
∴
（12分）∵
，而n≥2时∴f（n）在n≥2时为单调递减数列，此时f（n）max=f（2）=2（14分）
∴存在不小于2的整数，使f（n）≤2对一切n∈N*都成立，Mmin=2（16分）
点评：本题考查等差数列的通项公式的运用，注意结合等差数列的性质分析，可以减少运算量，降低难度．
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