Question

4．设函数f（x）=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{x}{3}$•log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{x}{9}$．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）在区间[1，9]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数的运算法则，结合配方法，求f（x）的单调递减区间；
（2）由x∈[1，9]，可得log${\;}_{\sqrt{3}}$x∈[0，3]，函数单调递减，即可求f（x）在区间[1，9]上的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{x}{3}$•log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{x}{9}$=（log${\;}_{\sqrt{3}}$x-2）•（log${\;}_{\sqrt{3}}$x-4）=（log${\;}_{\sqrt{3}}$x-3）²-1
由log${\;}_{\sqrt{3}}$x≤3，可得0＜x≤3$\sqrt{3}$，∴f（x）的单调递减区间是（0，3$\sqrt{3}$]；
（2）由x∈[1，9]，可得log${\;}_{\sqrt{3}}$x∈[0，4]，当log${\;}_{\sqrt{3}}$x∈[0，3]时函数f（x）单调递减，
∴f（x）在区间[1，9]上的取值范围是[-1，8]．

点评 本题考查对数的运算法则，函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．