Question

如图，在四边形ABCD中，CA=CD=

1

2

AB=1，

AB

•

AC

=1，sin∠BCD=

3

5

．
（1）求BC的长；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）求sinD的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用

AB

•

AC

=1，利用向量的数量积的性质求得cos∠BAC的值，进而求得∠BAC，进而利用余弦定理求得BC的长．
（2）根据（1）可求得BC²+AC²=AB²．判断出∴∠ACB=

π

2

，进而在直角三角形中求得cos∠ACD的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACD，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．
（3）在△ACD中利用余弦定理求得AD的长，最后利用正弦定理求得sinD的值．

解答：解：（1）由条件，得AC=CD=1，AB=2．
∵

AB

•

AC

=1，∴1×2×cos∠BAC=1．则cos∠BAC=

1

2

．
∵∠BAC∈（0，π），∴∠BAC=

π

3

．
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=4+1-2×2×

1

2

=3．
∴BC=

3

．
（2）由（1）得BC²+AC²=AB²．
∴∠ACB=

π

2

．
∴sin∠BCD=sin(

π

2

+∠ACD)=cos∠ACD=

3

5

．
∵∠ACD∈∈（0，π），∴sin∠ACD=

4

5

．
∴S_△ACD=

1

2

×1×1×

4

5

=

2

5

．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

3

2

+

2

5

．
（3）在△ACD中，
AD²=AC²+DC²-2AC•DCcos∠ACD=1+1-2×1×1×

3

5

=

4

5

．
∴AD=

2 5

5

．
∵

AD

sin∠ACD

=

AC

sinD

，
∴sinD=

AC

AD

sin∠ACD=

1

2 5 5

•

4

5

=

2 5

5

．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．