Question

已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线有两个不同的公共点，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.

Answer 1

（1），当时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆，当时，曲线C为中心在原点的椭圆；（2）不存在.

试题分析：（1）先将曲线的参数方程转化为普通方程，讨论的值来判断方程表示什么图形；（2）联立直线与曲线的方程，因为直线与曲线有2个不同的公共点，所以判别式大于0，所以，利用韦达定理将的关系代入中，解出与相矛盾，所以不存在.
试题解析：（Ⅰ）∵，∴可将曲线C的方程化为普通方程：.      2分
①当时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；              4分
②当时，曲线C为中心在原点的椭圆.                     6分
（Ⅱ）直线的普通方程为：.                           8分
联立直线与曲线的方程，消得，化简得.
若直线与曲线C有两个不同的公共点，则，解得.
又，                      10分
故.
解得与相矛盾.  故不存在满足题意的实数.        12分