Question

已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足，（若△ABC的顶点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则该三角形的重心坐标为）．
（1）求点C的轨迹E的方程．
（2）设（1）中曲线E的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂的直线l交曲线E于P、Q两点，求△F₁PQ面积的最大值，并求出取最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设出C的坐标，则G点坐标可得，进而根据判断出GM∥AB，根据表示出M的坐标，利用进而利用两点间的距离公式求得x和y的关系，点C的轨迹方程可得．
（2）由（1）可知焦点坐标，设出直线l的方程，设出P，Q的坐标，把直线与椭圆方程联立消去x，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂的表达式，进而求得|y₁-y₂|表达式，根据三角形面积公式求得三角形面积公式．进而根据均值不等式求得面积的最大值，根据等号成立的条件，求得t，则直线的方程可得．
解答：解：（1）设C（x，y），则．
∵（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x轴上一点，则．
又∵，∴．整理得．

（2）由（1），知．设直线l的方程为x=ty+，
由（1），知x≠0，∴l不过点（0，±1），∴
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将．
∴△=8t²+4（t²+3）=12（t²+1）＞0恒成立．∴．
∴．
∴．
∴．
当且仅当t²+1=2，即t=±1时取“=”
所以△F₁PQ的最大值为，此时直线l的方程为x±y-=0．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及直线与圆锥曲线的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．