题目内容
给出下列六个命题：
①sin1＜3sin
＜5sin
②若f'（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
=x
，
=y
，则
+
=3；
⑤已知a=
sinxdx，点(
，a)到直线
x-y+1=0的距离为1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，对任意的实数x恒成立，则实数a≤-1，或a≥4；
其中真命题是
①sin1＜3sin
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
②若f'（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
⑤已知a=
| ∫ | π 0 |
| 3 |
| 3 |
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，对任意的实数x恒成立，则实数a≤-1，或a≥4；
其中真命题是
①③④⑤
①③④⑤
（把你认为真命题序号都填在横线上）分析：对于①考查函数y=xsin
，该函数在（
，+∞）上单调性，即可判定真假，对于②y=x3在x=0处没有极值，对于③根据命题的否定将条件和结论同时否定，可进行判定真假，对于④根据向量的共线定理进行求解，对于⑤先根据定积分求出a，然后利用点到直线的距离公式进行求解，对于⑥|x+3|+|x-1|无最大值，不存在a使之成立．
| 1 |
| x |
| π |
| 4 |
解答：解：①考察函数y=xsin
，该函数在（
，+∞）上单调递增，而1＜3＜5，则sin1＜3sin
＜5sin
，故正确；
②若f'（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0不一定取得极值，如y=x3在x=0处没有极值，故不正确；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定将条件和结论同时否定，则：“?x∈R，均有ex≥0”，故正确；
④根据题意G为三角形的重心，
=
（
+
），
=
-
=
（
+
）-x
=(
-x)
+
，
=
-
=y
-
=y
-
(
+
)
=(y-
)
-
，
由于
与
共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得
=λ
，
即 (
-x)
+
λ[(y-
)
-
]，
即
∴
=
即x+y-3xy=0
两边同除以xy整理得
+
=3，故正确；
⑤定积分
sinxdx=（-cosx）|0π=1+1=2，根据点到直线的距离公式可点(
，2)到直线
x-y+1=0的距离为1，故正确；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，对任意的实数x恒成立，则a2-3a≥（|x+3|+|x-1|）max，而|x+3|+|x-1|无最大值，故不正确；
故答案为：①③④⑤
| 1 |
| x |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
②若f'（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0不一定取得极值，如y=x3在x=0处没有极值，故不正确；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定将条件和结论同时否定，则：“?x∈R，均有ex≥0”，故正确；
④根据题意G为三角形的重心，
| AG |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| MG |
| AG |
| AM |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| GN |
| AN |
| AG |
| AC |
| AG |
=y
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
=(y-
| 1 |
| 3 |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
由于
| MG |
| GN |
| MG |
| GN |
即 (
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
即
|
∴
| ||
-
|
| ||
y-
|
即x+y-3xy=0
两边同除以xy整理得
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
⑤定积分
| ∫ | π 0 |
| 3 |
| 3 |
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，对任意的实数x恒成立，则a2-3a≥（|x+3|+|x-1|）max，而|x+3|+|x-1|无最大值，故不正确；
故答案为：①③④⑤
点评：本题主要考查了函数值的大小比较、极值存在的条件、定积分和点到直线的距离、恒成立等有关问题，是一道综合题，考查的知识点较多．
练习册系列答案
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，给出下列六个命题：（1）若
是
，则
的
对称，则
与函数
的
，则
，则
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