题目内容

已知点G是△ABC的重心，
AG
=λ
AB
+μ
AC
(λ，μ∈R)，那么λ+μ=
 
；若∠A=120°，
AB
•
AC
=-2，则|
AG
|的最小值是
 
．
分析：由三角形的重心分中线为
1
2
得λ，μ的值，用向量的数量积求|
AC
||
AB
|值，用向量模的平方等于向量的平方表示出|
AG
|2
再用基本不等式求出最小值．
解答：解：∵点G是△ABC的重心
∴点G分中线为
1
2

∴
AG
=
2
3
×
1
2
（
AB
+
AC
）=
1
3
（
AB
+
AC
）
∵
AG
=λ
AB
+μ
AC
(λ，μ∈R)
∴λ=
1
3
，μ=
1
3

∴λ+μ=
2
3

故答案为
2
3

设|
AC
|=b，|
AB
|=c
∵∠A=120°，
AB
•
AC
=-2
∴bccos120°=-2即bc=4
∵
AG
=
1
3
（
AB
+
AC
）

∴|
AG
|2=
1
9
( 
AB
2+ 2
AB
•
AC
+
AC
2)=
1
9
（b2+c2-4）≥
1
9
(2bc-4)=
4
9

∴|
AG
|=
2
3
当且仅当b=c时取等号．
故答案为∴|
AG
|的最小值为
2
3
点评：考查三角形的重心性质、向量的数量积、向量模的求法、用基本不等式求最值．
练习册系列答案
相关题目
已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则该三角形的重心坐标为G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
（1）求点C的轨迹E的方程．
（2）设（1）中曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l交曲线E于P、Q两点，求△F1PQ面积的最大值，并求出取最大值时直线l的方程．
已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若
AP
=λ
AB
+μ
AC
，则λ+μ的取值范围是（　　）
A、(
1
2
，1)
B、(
2
3
，1)
C、(1，
3
2
)
D、（1，2）
（文）已知奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=3x-1，则f(log
1
3
36)=
 

（理）已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若
OA
+
OB
+
OC
=λ
OG
，则λ的值是
 
．
给出下列六个命题：
①sin1＜3sin
1
3
＜5sin
1
5

②若f'（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，则
1
x
+
1
y
=3；
⑤已知a=
∫
π
0
sinxdx，点(
3
，a)到直线
3
x-y+1=0的距离为1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，对任意的实数x恒成立，则实数a≤-1，或a≥4；
其中真命题是
①③④⑤
①③④⑤
（把你认为真命题序号都填在横线上）

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