Question

7．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D₁E与A₁D所成角的大小是90°，若D₁E⊥EC，则AE=1．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，设E（1，t，0），0≤t≤2，分别求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$和$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，由$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=0，能求出直线D₁E与A₁D所成角的大小；分别求出$\overrightarrow{{D}_{1}E}$，$\overrightarrow{EC}$，由$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{EC}$=0，能求出AE的长．

解答 解：∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），A₁（1，0，1），C（0，2，0），
设E（1，t，0），0≤t≤2，
则$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-1+0+1=0，
∴直线D₁E与A₁D所成角的大小是90°．
∵$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，2-t，0），D₁E⊥EC，
∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{EC}$=-1+t（2-t）+0=0，
解得t=1，∴AE=1．
故答案为：90⁰，1．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．