Question

（2010•天津模拟）给出下列四个命题：
①已知a=

∫

π 0

sinxdx，点(

3

，a)到直线

3

x-y+1=0的距离为1；
②若f'（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
③m≥-1，则函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R；
④在极坐标系中，点P(2，

π

3

)到直线ρsin(θ-

π

6

)=3的距离是2．
其中真命题是

①③④

（把你认为正确的命题序号都填在横线上）

Answer 1

分析：①先利用微积分基本定理求定积分的值，得a值，再利用点到直线的距离公式计算距离即可判断；②举反例即可判断其为假命题；③当对数函数的真数能取遍一切正数时，其值域为R，据此即可判断；④先将极坐标化为直角坐标，将极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可作出判断

解答：解：①∵a=∫_π⁰sinxdx，a=∫₀^πsinxdx=-cosx|₀^π=-cosπ+cos0=2
∴(

3

，2)到直线

3

x-y+1=0的距离为d=

| 3 × 3 -2+1|

3+1

=1，故①为真命题
②例如f（x）=x³，f′（0）=0，但在x=0不取极值，故②为假命题
③若m≥-1，则二次函数y=x²-2x-m的判别式△=4+4m≥0，其函数值可取遍一切正数，故函数y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域为R，③为真命题
④将极坐标化为直角坐标，即点P（2cos

π

3

，2sin

π

3

），即P（1，

3

），直线ρsin(θ-

π

6

)=3即ρsinθcos

π

6

-ρcosθsin

π

6

=3化为直角坐标方程为

3

2

y-

1

2

x=3
∴点P（1，

3

）到直线

3

2

y-

1

2

x=3的距离为d=

| 3 2 × 3 - 1 2 ×1-3|

1 4 + 3 4

=2，故④为真命题
故答案为①③④

点评：本题综合考察了定积分的求法，点到直线的距离公式，函数极值的意义，对数函数的值域，极坐标与直角坐标的互化等基础知识