Question

15．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，底面CDEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面CDEF，CF∥DE，CD⊥DE，AB=2BC=2CF=2，DE=3CF．
（1）试问：线段AE上是否存在一点P，使得PF∥平面ABCD？请说明理由；
（2）若P是AE的中点，求三棱锥P-CEF的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，线段AE上存在一点P，使得PF∥平面ABCD．分别在AE，AD上取一点P，N，使得$\frac{AP}{AE}=\frac{AN}{AD}$=$\frac{1}{3}$，连接PN．可得PN=$\frac{1}{3}$DE=1，PN∥DE，已知CF∥DE，CF=$\frac{1}{3}$DE．即可证明四边形PNCF是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，可得：AD⊥平面CDEF，在直角梯形CDEF中，可得S_△CEF=$\frac{1}{2}CF•CD$，又P是AE的中点，V_P-CEF=$\frac{1}{2}{V}_{A-CEF}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}{S}_{△CEF}$•AD，即可得出．

解答 （1）解：如图所示，线段AE上存在一点P，使得PF∥平面ABCD．
分别在AE，AD上取一点P，N，使得$\frac{AP}{AE}=\frac{AN}{AD}$=$\frac{1}{3}$，连接PN．
则PN=$\frac{1}{3}$DE=1，PN∥DE，又CF∥DE，CF=$\frac{1}{3}$DE．
∴PN$\underset{∥}{=}$CF，
∴四边形PNCF是平行四边形，
∴PF∥CN，又NC?平面ABCD，PF?平面ABCD，
∴PF∥平面ABCD．
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，
∴AD⊥平面CDEF，
在直角梯形CDEF中，∵CD⊥CF．
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}CF•CD$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$．又P是AE的中点，
∴V_P-CEF=$\frac{1}{2}{V}_{A-CEF}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}{S}_{△CEF}$•AD
=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×1$
=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了空间线面面面的位置关系、平行线与平行四边形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．