题目内容
(2009•闸北区一模)已知复数z1满足(1+i)z1=3+i,复数z0满足z0•z1+
=4.
(1)求复数z0;
(2)设z0是关于x的实系数方程x2-px+q=0的一个根,求p、q的值.
. | z0 |
(1)求复数z0;
(2)设z0是关于x的实系数方程x2-px+q=0的一个根,求p、q的值.
分析:(1)根据所给的复数满足的条件,表示出复数,进行复数的除法运算,得到代数形式的标准形式,根据两个复数之间的关系,利用复数相等的条件得到结果.
(2)z0是关于x的实系数方程x2-px+q=0的一个根,得1-i是实系数方程x2-px+q=0的根,根据根与系数之间的关系,写出字母系数的表示式,得到结果.
(2)z0是关于x的实系数方程x2-px+q=0的一个根,得1-i是实系数方程x2-px+q=0的根,根据根与系数之间的关系,写出字母系数的表示式,得到结果.
解答:解:(1)因为(1+i)z1=3+i,所以z1=
=2-i,(2分)
设z0=a+bi(a,b∈R),且z0•z1+
=4.
所以(a+bi)(2-i)+a-bi=4⇒(3a+b)+(b-a)i=4(2分)
由两复数相等的定义得:
,解得
(1分)
所以复数z0=1+i.(1分)
(2)z0是关于x的实系数方程x2-px+q=0的一个根,
得1-i是实系数方程x2-px+q=0的根,(2分)
所以p=(1+i)+(1-i)=2(2分)
q=(1+i)•(1-i)=2(2分)
3+i |
1+i |
设z0=a+bi(a,b∈R),且z0•z1+
. |
z0 |
所以(a+bi)(2-i)+a-bi=4⇒(3a+b)+(b-a)i=4(2分)
由两复数相等的定义得:
|
|
所以复数z0=1+i.(1分)
(2)z0是关于x的实系数方程x2-px+q=0的一个根,
得1-i是实系数方程x2-px+q=0的根,(2分)
所以p=(1+i)+(1-i)=2(2分)
q=(1+i)•(1-i)=2(2分)
点评:本题考查实系数的一元二次方程的根与系数的关系,本题解题的关键是根据所给的一个虚数根写出另一个虚数根,本题是一个中档题目.
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