题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,
为椭圆的左、右焦点,过右焦点
的直线与椭圆交于
两点,且
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点A是第一象限内椭圆上一点,且在轴上的正投影为右焦点
,过点
作直线
分别交椭圆于
两点,当直线
的倾斜角互补时,试问:直线
的斜率是否为定值;若是,请求出其定值;否则,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)由题意求出a,b,即可得到椭圆的方程;
(Ⅱ)依题意知,点,设
,直线
的方程为:
,联立方程可得
利用韦达定理表示G点坐标,同理可得:
,
),从而得到结果.
(Ⅰ)由题设知,
由椭圆的定义知:的周长为
,解得
.
故因此
,所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)证明:依题意知,点,设
直线的方程为:
,
联立,得
,
则, 即
,
又,
即
,
)
又直线的倾斜角互补,则直线
的斜率为
同理可得:
,
),
因此,直线的斜率为
为定值.
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