Question

某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段AA₁，B₁B，CC₁，D₁D关于坐标轴或原点对称，线段B₁B的方程为y=x，x∈[a，b]，过o有一条航道．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M(-

5

2

a，0)处测得该船发出的汽笛声的时刻总晚1s（设海面上声速为am/s）．若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）
（Ⅰ）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？
（Ⅱ）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设轮船所在的位置为P，由题意在点M处测得该船发出的汽笛声的时刻总晚1s，可得|PM|-|PN|=a，结合双曲线的定义，可得故点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，代入数据可得答案，
（Ⅱ）设直线l的方程为y=y₀，分0≤y₀≤a时与y₀≥a时两种情况讨论，每种情况下，分别设出l与双曲线右支、直线y=x的交点，求出交点的坐标，判断l与双曲线的交点与y=x的位置关系，即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）设轮船所在的位置为P，由题意可得|PM|-|PN|=a．∵a＜|MN|，
故点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．
设点P的轨迹方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）则m=

1

2

an=

5a2 4 - a2 4

=a，
∴兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是4x²-y²=a²（x＞0）；
（II）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾．
设直线l的方程为y=y₀
①当0≤y₀≤a时，设l与双曲线右支、直线y=x分别交于点Q₁，S₁，则 Q1(

1

2

y02+a2

，y0)，S₁（a，y₀），
∵

1

2

y02+a2

＜

1

2

a2+a2

＜a∴点Q₁在点S₁的左侧，∴船不可能进入暗礁区，
②当y₀≥a时，设l与双曲线右支、直线y=x分别交于点Q₂，S₂，
则Q2(

1

2

y02+a2

，y0)，S₂（y₀，y₀），
∵

1

4

(y02+a2)-y02=-

3y02-a2

4

＜0∴

1

2

y02+a2

＜y0∴Q₂在点S₂的右侧，∴船不可能进入暗礁区．
综上，在x轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾．

点评：本题考查双曲线的运用，解此类题目时，要注意结合题意，务必明确所求得的轨迹是双曲线的两支还是其中一支．