Question

8．设二次函数f（x）=ax²+bx+c，f（-1）=0，且对?x∈R，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）若关于x的不等式f（x）-mx+1≤0的解集是空集，求实数m的取值的集合A．
（2）若关于x的方程f（x）-mx+1=0的两根为x₁，x₂，试问：是否存在实数n，使得不等式n²+tn+1≤|x₁-x₂|对?m∈A及t∈[-2，2]恒成立？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）使用待定系数法求函数的解析式，关键是根据已知条件构造方程组，当f（x）的二次系数a＞0时，f（x）≤0的解集是空集?△＜0，
（2）可将其转化为求的关于n的不等式组．

解答 解：（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此 $\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，
故b=$\frac{1}{3}$-a，c=$\frac{1}{3}$-2a．由x-1≤f（x）恒成立得：ax²-（$\frac{2}{3}$+a）x+$\frac{4}{3}$-2a≥0对x∈R恒成立，
故△=（$\frac{2}{3}$+a）²-4a（$\frac{4}{3}$-2a）≤0，
即9a²-4a+$\frac{4}{9}$≤0，
解得a=$\frac{2}{9}$，
故f（x）=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{x}{9}$-$\frac{1}{9}$；
由$\frac{2}{9}$x²+$\frac{x}{9}$-$\frac{1}{9}$-mx+1≤0，
得2x²+（1-9m）x+8≤0，
故△=（1-9m）²-64＜0，
解得：-$\frac{7}{9}$＜m＜1，从而A=（-$\frac{7}{9}$，1）；
（2）显然|x₁-x₂|≥0，当且仅当m=-$\frac{7}{9}$或m=1时取得等号，
故n²+tn+1≤0对t∈[-2，2]恒成立．记g（t）=n•t+（n²+1），
则有 $\left\{\begin{array}{l}{g（-2）{=n}^{2}-2n+1≤0}\\{g（2）{=n}^{2}+2n+1≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（n-1）}^{2}≤0}\\{{（n+1）}^{2}≤0}\end{array}\right.$，
故n∈∅，不存在这样的实数．

点评 解一元二次不等式ax²+bx+c＞0 或ax²+bx+c＜0，反映在数量关系上就是考查二次方程ax²+bx+c=0的根，反映在图形上就是考查二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的关系．因此要熟练掌握“三个二次”之间的相互转换，善于用转化思想分析解决问题．