题目内容
【题目】在矩形ABCD中,AB=4 ,AD=2
,将△ABD沿BD折起,使得点A折起至A′,设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ.
(1)当θ=90°时,求A′C的长;
(2)当cosθ= 时,求BC与平面A′BD所成角的正弦值.
【答案】
(1)
解:在图1中,过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE.
∵AB=4 ,AD=2
,∴BD=
=10.
∴ ,BE=
=8,cos∠CBE=
=
.
在△BCE中,由余弦定理得CE= =2
.
∵θ=90°,∴A′E⊥平面ABCD,∴A′E⊥CE.
∴|A′E|= =2
.
(2)
解:DE= =2.
∵tan∠FDE= ,∴EF=1,DF=
=
.
当 即cos∠A′EF=
时,
.
∴A′E2=A′F2+EF2,∴∠A'FE=90°
又BD⊥AE,BD⊥EF,∴BD⊥平面A'EF,∴BD⊥A'F
∴A'F⊥平面ABCD.
以F为原点,以FC为x轴,以过F的AD的平行线为y轴,以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示:
∴A′(0,0, ),D(﹣
,0,0),B(3
,2
,0),C(3
,0,0).
∴ =(0,2
,0),
=(4
,2
,0),
=(
,0,
).
设平面A′BD的法向量为 =(x,y,z),则
,
∴ ,令z=1得
=(﹣
,2
,1).
∴cos< >=
=
=
.
∴BC与平面A'BD所成角的正弦值为 .
【解析】(1)过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE,利用勾股定理及余弦定理计算AE,CE,由A′E⊥CE得出A′C;(2)利用余弦定理可得A′F= ,从而得出A′F⊥平面ABCD,以F为原点建立坐标系,求出
和平面A′BD的法向量
,则BC与平面A′BD所成角的正弦值为|cos<
>|.
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