Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=2 ，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ．

（1）当θ=90°时，求A′C的长；
（2）当cosθ= 时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在图1中，过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE．

∵AB=4 ，AD=2 ，∴BD= =10．

∴ ，BE= =8，cos∠CBE= = ．

在△BCE中，由余弦定理得CE= =2 ．

∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．

∴|A′E|= =2 ．

（2）

解：DE= =2．

∵tan∠FDE= ，∴EF=1，DF= = ．

当 即cos∠A′EF= 时， ．

∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°

又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F

∴A'F⊥平面ABCD．

以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示：

∴A′（0，0， ），D（﹣ ，0，0），B（3 ，2 ，0），C（3 ，0，0）．

∴ =（0，2 ，0）， =（4 ，2 ，0）， =（ ，0， ）．

设平面A′BD的法向量为 =（x，y，z），则 ，

∴ ，令z=1得 =（﹣ ，2 ，1）．

∴cos＜ ＞= = = ．

∴BC与平面A'BD所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE，利用勾股定理及余弦定理计算AE，CE，由A′E⊥CE得出A′C；（2）利用余弦定理可得A′F= ，从而得出A′F⊥平面ABCD，以F为原点建立坐标系，求出 和平面A′BD的法向量 ，则BC与平面A′BD所成角的正弦值为|cos＜ ＞|．