Question

【题目】已知函数f（x）= 为偶函数
（1）求实数a的值；
系；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣ ，判断λ与E的
（3）当x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求实数m，n值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数 为偶函数．

∴f（﹣x）=f（x）

即 =

∴2（a+1）x=0，

∵x为非零实数，

∴a+1=0，即a=﹣1

（2）解：由（1）得

∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0， }

而 = = = =

∴λ∈E

（3）解：∵ ＞0恒成立

∴ 在 上为增函数

又∵函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，

∴f（ ）=1﹣m2=2﹣3m，且f（ ）=1﹣n2=2﹣3n，

又∵ ，m＞0，n＞0

∴m＞n＞0

解得m= ，n=

【解析】（1）根据函数 为偶函数f（﹣x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；（2）由（1）中函数f（x）的解析式，将x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案（3）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，x∈ ，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．