已知点F(1.0).点P为平面上的动点.过点P作直线l:x=-1的垂线.垂足为H.且$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FH}$．(1)求动点P的轨迹C的方程,(2)设点P的轨迹C与x轴交于点M.点A.B是轨迹C上异于点M的不同D的两点.且� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知点F（1，0），点P为平面上的动点，过点P作直线l：x=-1的垂线，垂足为H，且$\overrightarrow{HP}$•$\overrightarrow{HF}$=$\overrightarrow{FP}$•$\overrightarrow{FH}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同D的两点，且满足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，在A，B处分别作轨迹C的切线交于点N，求点N的轨迹E的方程；
（3）在（2）的条件下，求证：k_MN•k_AB为定值．

分析（1）由$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FH}$，展开数量积公式可得$|\overrightarrow{HP}|=|\overrightarrow{FP}|$，可知点P为线段HF中垂线上的点，由抛物线定义可得动点P的轨迹C为以F为焦点的抛物线，
其方程为y²=4x；
（2）设直线MA的斜率为k（k≠0），写出直线MA的方程，和抛物线联立求得$A（\frac{4}{k^2}，\frac{4}{k}）$，进一步求得切线NA的方程，同理求出切线NB的方程，联立即可求得交点N的轨迹方程；
（3）由（2）求出N的坐标，由两点坐标求斜率公式求得k_MN、k_AB得答案．

解答（1）解：由$\overrightarrow{HP}•\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FH}$可得：$|\overrightarrow{HP}|•|\overrightarrow{HF}|cosPHF=|\overrightarrow{FP}|•|\overrightarrow{FH}|cosPFH$，
即$|\overrightarrow{HP}|=|\overrightarrow{FP}|$，可知点P为线段HF中垂线上的点，故动点P的轨迹C为以F为焦点的抛物线，
其方程为y²=4x；
（2）解：设直线MA的斜率为k（k≠0），则MA所在直线方程为y=kx，
联立直线MA和抛物线方程，得$A（\frac{4}{k^2}，\frac{4}{k}）$，
可求得切线NA的方程为$\frac{4}{k}y=4•\frac{{x+\frac{4}{k^2}}}{2}$，化简整理得$y=\frac{k}{2}x+\frac{2}{k}$，①
∵MA⊥MB，∴${k_{OB}}=-\frac{1}{k}$，
故直线MB的方程为$y=-\frac{1}{k}x$．
联立直线MB和抛物线方程，解得B（4k²，-4k），
∴切线NB的方程为$-4ky=4•\frac{{x+4{k^2}}}{2}$，化简整理得$y=-\frac{1}{2k}x-2k$，②
①-②得，$（\frac{k}{2}+\frac{1}{2k}）x+2（\frac{1}{k}+k）=0$，解得x=-4（定值）．
故点N的轨迹为x=-4，是垂直x轴的一条定直线；
（3）证明：由（2）有$N（-4，\frac{2}{k}-2k）$，
∴${k_{NM}}=\frac{{{k^2}-1}}{2k}$，${k_{AB}}=\frac{{-2pk-\frac{2p}{k}}}{{2p{k^2}-\frac{2p}{k^2}}}=\frac{k}{{1-{k^2}}}$．
故${k_{NM}}•{k_{AB}}=-\frac{1}{2}$（定值）．

点评本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求，是压轴题．

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B．

（1-2${\;}^{-\frac{1}{16}}$）^-1

C．

1-2${\;}^{-\frac{1}{16}}$

D．

$\frac{1}{2}$（1-2${\;}^{-\frac{1}{16}}$）

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