题目内容

7.函数y=$\frac{\sqrt{3}cosx}{2+sinx}$的最大值为1.

分析 已知式子变形可得$\sqrt{3+{y}^{2}}$cos(x+φ)=2y,其中tanφ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$,可得y的不等式,解不等式可得.

解答 解:∵y=$\frac{\sqrt{3}cosx}{2+sinx}$,∴$\sqrt{3}$cosx=2y+ysinx,
∴$\sqrt{3}$cosx-ysinx=2y,
∴$\sqrt{3+{y}^{2}}$cos(x+φ)=2y,其中tanφ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$,
由三角函数的值域可得|2y|≤$\sqrt{3+{y}^{2}}$,
解关于y的不等式可得-1≤y≤1,
∴函数y=$\frac{\sqrt{3}cosx}{2+sinx}$的最大值为:1
故答案为:1

点评 本题考查三角函数的最值,涉及和差角的三角函数公式和三角函数的有界性,属基础题.

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