题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+ $数学公式$ 和2- $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

解：（1）由题意得 $\text{[math]}$ ，解得a=2，c= $\text{[math]}$ ，b=1
所求的方程为 $\text{[math]}$
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁）
由 $\text{[math]}$ 得（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，∴k∈（-∞，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，+∞）（1）
又x₁+x₂= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由0°＜∠AOE＜90°? $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ =x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4= $\text{[math]}$ +2k $\text{[math]}$ +4＞0
∴-2＜k＜2 （2）
由（1）（2）得：k∈（-2，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，2）．
（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．
当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为 $\text{[math]}$ ，由d=1得 $\text{[math]}$ ，
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x₁，kx₁），则直线RQ的斜率为- $\text{[math]}$ ，Q（x₂，- $\text{[math]}$ ）
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ （1），同理 $\text{[math]}$ （2）
在Rt△OPQ中，由 $\text{[math]}$ d|PQ|= $\text{[math]}$ |OP||OQ|，即|PQ|²=|OP|²•|OQ|²
所以 $\text{[math]}$ ，化简得 $\text{[math]}$ ，
k²（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =1+k²，即 $\text{[math]}$ ．
综上，d=1时a，b满足条件 $\text{[math]}$
分析：（1）由椭圆的几何性质可得焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入即可．
（2）斜率k的取值范围，须将k用其它参数表示，先设直线l的方程，代入椭圆方程，求x₁+x₂和x₁x₂，再根据∠AOB为锐角得到向量 $\text{[math]}$ 的数量积大于0，用直线l的斜率k表示 $\text{[math]}$ 的数量积，即可得到k的范围．
（3）先根据椭圆的对称性判断PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．设四边形PQSR的一条对角线的方程，根据菱形对角线互相垂直，可得另一条对角线的方程，分别与椭圆方程联立，再借助菱形各边长相等，即可得到a，b满足的条件．
点评：本体考查了椭圆性质的应用，以及判断直线与椭圆位置关系时，韦达定理的应用．

练习册系列答案

学年复习一本通学习总动员期末暑假衔接光明日报出版社系列答案

快乐假期衔接优化训练北方妇女儿童出版社系列答案

暑假作业甘肃少年儿童出版社系列答案

学业加油站赢在假期济南出版社系列答案

新课标快乐提优暑假作业陕西旅游出版社系列答案

假日语文暑假吉林出版集团股份有限公司系列答案

相关题目

已知椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足

（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且椭圆C经过点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．

（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.

①求椭圆C的方程.

②当⊿AMN的面积为时，求k的值.

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(，0)求实数k的取值范围。

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若。则（）

（A）1 （B）2 （C）（D）

试题分类