Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂．
（1）若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁，F₂的距离之和为4，求椭圆C的方程和焦点的坐标；
（2）若M，N是C上关于（0，0）对称的两点，P是C上任意一点，直线PM，PN的斜率都存在，记为k_PM，k_PN，求证：k_PM与k_PN之积为定值．

Answer 1

分析：（1）先根据点A到F₁、F₂两点的距离之和求得a，进而把A点代入椭圆方程求得b，则c可得，进而可求得椭圆的方程和焦点坐标．
（2）设点M的坐标为（m，n），根据点的对称性可求得N的坐标，代入椭圆方程设出点P的坐标，则利用斜率公式可分别表示出PM和PN的斜率，求得二者乘积的表达式，把y²=3-

3

4

x²，n²=3-

3

4

m²代入结果为常数，原式得证．

解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．又点A（1，

3

2

））在椭圆上，因此

1

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1得b²=3，于是c²=1．所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（2）设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），其中

m2

4

+

n2

3

=1．
又设点P的坐标为（x，y），由k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

得k_PM•k_PN=

y+n

x+m

•

y-n

x-m

=

y2-n2

x2-m2

将y²=3-

3

4

x²，n²=3-

3

4

m²代入得k_PM•k_PN=-

3

4

故k_PM与k_PN之积为定值．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线的斜率，椭圆的性质，考查了学生分析推理和基本的运算能力．