Question

已知不等式：

3-x

x2+1

＞1的解集为A．
（1）求解集A；
（2）若a∈R，解关于x的不等式：ax²+1＜（a+1）x；
（3）求实数a的取值范围，使关于x的不等式：ax²+1＜（a+1）x的解集C满足C∩A=∅．

Answer 1

分析：（1）去分母化简得x²+x-2＜0，解一元二次不等式得-2＜x＜1，从而可求集合A．
（2）ax²+1＜（a+1）x等价于ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0，由于不等式的解集与方程的解及开口方向有关，故需要进行分类讨论；
（3）若C∩A=∅，则对a分类讨论，得出集合C，利用C∩A=∅，可求．

解答：解：（1）去分母化简得x²+x-2＜0，∴-2＜x＜1，∴A=（-2，1）
（2）ax²+1＜（a+1）x等价于ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0
1）当a＞0时，ax²-（a+1）x+1＜0等价于a(x-

1

a

)(x-1)＜0，即(x-

1

a

)(x-1)＜0，
所以：①当a＞1时，

1

a

＜x＜1；  ②当a=1时，x∈∅；  ③当0＜a＜1时，1＜x＜

1

a

；
2）当a=0时，x＞1
3）当a＜0时，x＞1或x＜

1

a

（3）若C∩A=∅，则：
①当a＞1时，C=(

1

a

，1)，不可能成立；
②当a=1时，x∈∅，成立；
③当0＜a＜1时，1＜x＜

1

a

，成立；
2）当a=0时，x＞1，成立；
3）当a＜0时，C=(-∞，

1

a

)∪(1，+∞)，须有

1

a

≤-2，则-

1

2

≤a＜0．
综上：a∈[-

1

2

，1]

点评：本题以集合为载体，考查不等式，考查集合的运算，注意分类讨论是关键．