题目内容

16.一中高三年级在一次考试的数学题中,设立了平面几何、极坐标与参数方程的不等式三道选做题,若张明、王小强、李文3名学生必须且只需从中选做一题,且每名学生选做何题相互独立.
(1)求张明、王小强、李文3名学生有且只有一人选做平面几何,没有人选做不等式试题的概率;
(2)求这3名学生选做不等式或平面几何题的人数X的分布列及数学期望.

分析 (1)基本事件总数为43,张明、王小强、李文3名学生有且只有一人选做平面几何,没有人选做不等式试题包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{2}×2×2$,由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果.
(2)不等式或平面几何被这3名学生选做的人数ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望.

解答 解:(1)设“张明、王小强、李文3名学生有且只有一人选做平面几何,没有人选做不等式试题”为事件A,
则P(A)=$\frac{{C}_{3}^{2}×2×2}{{4}^{3}}$=$\frac{3}{16}$.
答:张明、王小强、李文3名学生有且只有一人选做平面几何,没有人选做不等式试题的概率为$\frac{3}{16}$.
(2)不等式或平面几何被这3名学生选做的人数ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=$\frac{{2}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{8}{64}$,
P(ξ=1)=$\frac{{C}_{3}^{1}•{A}_{2}^{1}×{2}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{24}{64}$,
P(ξ=2)=$\frac{{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{1}×2+{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}×2}{{4}^{3}}$=$\frac{24}{64}$,
P(ξ=3)=$\frac{{C}_{3}^{2}{A}_{2}^{2}+{C}_{3}^{3}{A}_{2}^{1}}{{4}^{3}}$=$\frac{8}{64}$,
∴ξ的分布列为:

 ξ 1
$\frac{8}{64}$ $\frac{24}{64}$ $\frac{24}{64}$ $\frac{8}{64}$ 
Eξ=$0×\frac{8}{64}+1×\frac{24}{64}+2×\frac{24}{64}+3×\frac{8}{64}$=$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

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