Question

4．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，正视图和侧视图都是等腰三角形，已知M为BC上一点，且BM=$\frac{1}{2}$，PA⊥PM．
（1）求四棱锥P-ABCD的高；
（2）设点E、F分别在棱PA、PD上，且$\frac{PE}{PA}$=$\frac{PF}{PD}$=λ，若四棱锥M-AEFD与P-ABCD的体积之比为$\frac{1}{3}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）画出几何体的直观图，结合已知三视图可得OA=OC=$\sqrt{3}$，OB=OD=1，BM=$\frac{1}{2}$，∠OBC=∠OBA=60°，结合余弦定理和勾股定理，可求出四棱锥P-ABCD的高；
（2）三棱锥M-PAD，即棱锥P-ADM的体积等于棱锥P-ABCD的体积的$\frac{1}{2}$，若四棱锥M-AEFD与P-ABCD的体积之比为$\frac{1}{3}$，则四棱锥M-AEFD与M-PAD的体积之比为$\frac{2}{3}$，进而得到答案．

解答 解：（1）四棱锥P-ABCD的直观图如下图所示：
由三视图可得：OA=OC=$\sqrt{3}$，OB=OD=1，BM=$\frac{1}{2}$，
则∠OBC=∠OBA=60°，
设四棱锥P-ABCD的高PO=a，
则AM=$\sqrt{{AB}^{2}+{BM}^{2}-2AB•BM•cos∠ABM}$=$\sqrt{4+\frac{1}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
PA=$\sqrt{{PO}^{2}+{OA}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+3}$，
OM=$\sqrt{{OB}^{2}+{BM}^{2}-2OB•BM•cos∠OBM}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
PM=$\sqrt{{PO}^{2}+{OM}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵PA⊥PM，
∴PA²+PM²=AM²，即$2{a}^{2}+3\frac{3}{4}=\frac{21}{4}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即四棱锥P-ABCD的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）三棱锥M-PAD，即棱锥P-ADM的体积等于棱锥P-ABCD的体积的$\frac{1}{2}$，
四棱锥M-AEFD与三棱锥M-PAD同高，
若四棱锥M-AEFD与P-ABCD的体积之比为$\frac{1}{3}$，
则四棱锥M-AEFD与M-PAD的体积之比为$\frac{2}{3}$，
即梯形AEFD的面积是△PAD面积的$\frac{2}{3}$，
则△PEF的面积是△PAD面积的$\frac{1}{3}$
又由$\frac{PE}{PA}$=$\frac{PF}{PD}$=λ，
故${λ}^{2}=\frac{1}{3}$，
解得：$λ=\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．