Question

（2010•桂林二模）已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，椭圆上的点到焦点距离的最大值为

2

+1，最小值为

2

-1
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且满足

2

3

≤x₂•x₂+y₁•y₂≤

3

4

，求△AOB面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知

a+c= 2 +1 a-c= 2 -1

，解得a=

2

，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由圆O与直线l相切，知m²=k²+1．由

x2 2 +y2 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直线l与椭圆交于两个不同的点，知k²＞0．由韦达定理知x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

，由

2

3

≤x₂•x₂+y₁•y₂≤

3

4

，知

1

2

≤k2≤1，所以S△AOB=

1

2

•|AB|•1=

1

2

1+k2

•

(- 4km 1+2k2 )2-4× k2 1+2k2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，由此能求出△AOB面积S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题设知

a+c= 2 +1 a-c= 2 -1

，
解得a=

2

，c=1，
∴b²=1．
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，
∵

|m|

k2+1

=1，
∴m²=k²+1．
由

x2 2 +y2 =1 y=kx+m

，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同的点，
∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0．
x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1•x2=

2m2-2

1+2k 2

=

2k2

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2  +km(x1+x2)+m2=

1-k2

1+2k2

，
x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

，
∵

2

3

≤x₂•x₂+y₁•y₂≤

3

4

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k2≤1，
∴S△AOB=

1

2

•|AB|•1
=

1

2

1+k2

•

(- 4km 1+2k2 )2-4× k2 1+2k2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，
设μ=k⁴+k²，则

3

4

≤μ≤2，
S=

2μ 4μ+1

，μ∈[

3

4

，2]，
∵S关于μ∈[

3

4

，2]上单调递增，
∴△AOB面积S的最大值为S(2)=

2×2 4×2+1

=

2

3

．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．