题目内容
【题目】若圆经过坐标原点和点,且与直线相切, 从圆外一点向该圆引切线,为切点,
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)已知点,且, 试判断点是否总在某一定直线上,若是,求出的方程;若不是,请说明理由;
(Ⅲ)若(Ⅱ)中直线与轴的交点为,点是直线上两动点,且以为直径的圆过点,圆是否过定点?证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析 (Ⅲ)和
【解析】
试题(Ⅰ)直线与圆相切,则该直线离圆心的距离等于半径,从而确定圆心与半径,可求圆C的方程;(Ⅱ)由题可得PT⊥CT,求出再由,从而可得结论;(Ⅲ)根据点F在圆E上,故得,从而可得圆的方程,令可得结论.
试题解析:(Ⅰ)设圆心由题易得半径,
得,
所以圆的方程为
(Ⅱ)由题可得, 所以
所以
整理得
所以点总在直线上
(Ⅲ)由题可设点,,
则圆心,半径
从而圆的方程为
整理得
又点在圆上,故得
所以
令得, 所以或
所以圆过定点和
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