Question

13．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n=2n，求a_n．

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{a_n}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列．再由等差数列的通项公式求得答案．

解答 解：由a_n+1+a_n=2n，得
a_n+2+a_n+1=2（n+1），
两式作差得a_n+2=a_n+2，即a_n+2-a_n=2．
又a₁=1，得a₂=2-a₁=1，
∴数列{a_n}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，
偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列．
则当n为奇数时，${a}_{n}=1+2（\frac{n+1}{2}-1）=n$；
当n为偶数时，${a}_{n}=1+2（\frac{n}{2}-1）=n-1$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{n-1，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．