Question

8．已知集合A={x|x²-x=0}，B={x|mx²-1=0}，若A∩B=B，则实数m的取值范围为（-∞，0]．

Answer 1

分析 先用列举法列举出A集合，A={0，1}，由A∩B=B，可得等价条件B⊆A，从而得到A的子集有4种，根据子集分类讨论．

解答 解：A={0，1}，B={x|mx²-1=0}
∵A∩B=B∴B⊆A
   则 B=∅或{0}或{1}或{0，1}
 （1）若B=∅，则m=0或$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，即m≤0；
 （2）若B={0}或{1}，则△=4m=0，即m=0，此时B=∅，不符合；
 （3）若B={0，1}，则△=4m＞0，即m＞0
              由韦达定理可得：$\left\{\begin{array}{l}{1=0}\\{0=\frac{-1}{m}}\end{array}\right.$  无解．
 综上所述，m的取值范围为{m|m≤0}．

点评 在讨论的过程中，每一种情况都要先考虑△的情况．
注意在讨论B=∅的过程中，有两种情况：一种是二次项系数m=0的情况；一种是m≠0的前提下，△＜0的情况．
B={0}或{1}可以合成一种情况．
最后再综合上所述的时候3种情况要求并集．