题目内容
【题目】如图,已知正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且 = .
(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;
(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
【答案】
(1)解:设AC与BD的交点为O,AB=PA=2.以点O为坐标原点,
, , 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.
则A(1,﹣1,0),B(1,1,0),C(﹣1,1,0),D(﹣1,﹣1,0),
设P(0,0,p),则 =(﹣1,1,p),又AP=2,
∴1+1+p2=4,∴p= ,
∵ = = =( ),
=( ),
∴ =(﹣1,1,﹣ ), =(0, ,﹣ ),
设异面直线MN与PC所成角为θ,
则cosθ= = = .
θ=30°,
∴异面直线MN与PC所成角为30°
(2)解: =(﹣1,1,﹣ ), =(1,1,﹣ ), =( ,﹣ ),
设平面PBC的法向量 =(x,y,z),
则 ,取z=1,得 =(0, ,1),
设平面PNC的法向量 =(a,b,c),
则 ,取c=1,得 =( ,2 ,1),
设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ,
则cosθ= = = .
∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 .
【解析】(1)设AC与BD的交点为O,AB=PA=2.以点O为坐标原点, , , 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量,利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点,需要掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题.
【题目】如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则下列结论错误的是( )
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | t | 4 | 4.5 |
A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5)
B.产品的生产能耗与产量呈正相关
C.t的取值必定是3.15
D.A产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0.7吨