Question

已知函数f（x）=e^x-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；（3）已知n∈N﹡，且S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{b_n}，使得b₁+b₂+…b_n=S_n；若存在，请求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数的符号，进一步判断出函数的单调性，求出函数的最小值．
（2）要使不等式有解，分离出参数a，构造新函数g（x），求出g（x）的导函数，判断出g（x）的单调性，求出函数的最大值，令a小于最大值即可．
（3）通过微积分基本定理求出S_n，仿写等式求出数列的通项，利用等比数列的定义说明存在这样的等比数列．

解答：解：（1）f′（x）=e^x-1                              　　　　　　　　　　　　　　  
由f′（x）=0得x=0
当x＞0时f′（x）＞0．当x＜0时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上减
∴f（x）_min=f（0）=1                 
（2）∵M∩P≠∅，∴f(x)＞ax在区间[

1

2

，2]有解
由f（x）＞ax得e^x-x＞ax
即a＜

ex

x

-1在[

1

2

，2]上有解           　　　　　　　
令  g(x)=

ex

x

-1，  x∈[

1

2

，2]
∴g′(x)=

(x-1)ex

x2

∴g(x)在[

1

2

，1]上减，在[1，2]上增
又g(

1

2

)=2

e

-1，g(2)=

e2

2

-1，且g(2)＞g(

1

2

)
∴g(x)max=g(2)=

e2

2

-1
∴a＜

e2

2

-1                                               　　　　　　　　　　　　　
（3）设存在等比数列{b_n}，b₁+b₂+…+b_n=S_n
∵S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx=eⁿ-e^t
∴b₁=e-e^t         　　　　　　　　　　　 
n≥2时b_n=S_n-S_n-1=（e-1）e^n-1
当t=0时b_n=（e-1）e^n-1，数{b_n}为等比数列
t≠0时

b2

b1

≠

b3

b2

，则数{b_n}不是等比数列
∴当t=0时，存在满足条件的数b_n=（e-1）e^n-1满足题意

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第二小题不等式有解问题，有解的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．