Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为

6

6

，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证DE∥平面PFB，只需证明DE平行平面PFB内的直线FB，说明DE不在平面PFB内，即可．
（Ⅱ）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，求出平面ABCD的一个法向量为

m

，平面PFB的一个法向量为

n

=（x，y，z），利用cos＜

m

，

n

＞，以及已知二面角P-BF-C的余弦值为

6

6

，求出a，然后求四棱锥P-ABCD的体积．

解答：解：（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，
所以BE

∥ .

.

FD，所以，BEDF为平行四边形，（2分）
得ED∥FB，（3分）
又因为FB?平面PFB，且ED?平面PFB，（4分）
所以DE∥平面PFB．（5分）

（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，
可得如下点的坐标：
P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）
则有：

PF

=(1，0，-a)，

FB

=(1，2，0)，（6分）
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一个法向量为

m

=（0，0，1），（.7分）
设平面PFB的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则可得

PF •n=0 FB •n=0

即

x-az=0 x+2y=0

令x=1，得z=

1

a

，y=-

1

2

，所以n=(1，-

1

2

，

1

a

)．（9分）
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为

6

6

，
所以得：cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

1 a

5 4 + 1 a2

=

6

6

，（10分）
解得a=2．（11分）
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
所以，其体积为VP-ABCD=

1

3

×2×4=

8

3

．（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，二面角及其度量，考查计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．