题目内容

函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]⊆M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（　　）
①f（x）=x2（x≥0）；    ②f（x）=ex-1（x∈R）；
③f(x)=
4x
x2+1
(x≥0)；  ④f(x)=loga(ax-
1
8
)(a＞0，a≠1)．
分析：由新概念“倍值区间”的定义可以看出：若区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”，除了a，b满足定义中的①②两个条件外，a，b必是方程f（x）=2x的两个不同解．
①易知：函数f（x）=x2在x≥0时单调递增，令x2=2x，解得x=0或2，经验证区间[0，2]是函数f（x）=x2的倍值区间；
②易知函数单调递增，令ex-1=2x，再令g（x）=ex-2x-1，求导得g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时g（x）取得最小值g（ln2）=2-1-2ln2=1-ln4＜0，又g（2）=e22-5＞0，g（1）=e-3＜0，所以ex-1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且eb-2b-=0，满足题意；
③由
4x
x2+1
=2x(x≥0)⇒x=0或1，并且函数f(x)=
4x
x2+1
在[0，1]上单调递增，满足题意；
④首先ax＞
1
8
，令loga(ax-
1
8
)=2x(不妨取a＞1)，则a2x-ax+
1
8
=0，解得ax=
2±
2
4
＞
1
8
，则在a＞1时，区间[
2-
2
4
，
2+
2
4
]满足题意．
解答：解：①由二次函数的单调性知道：函数f（x）=x2在x≥0时单调递增，令x2=2x，解得x=0或2，f（x）在区间[0，2]上的值域为[0，4]．
由此可知：区间[0，2]是函数f（x）=x2的倍值区间．
②由于函数y=ex在R上单调递增，所以f（x）=ex-1在R上单调递增．
令ex-1=2x，再令g（x）=ex-2x-1，求导得g′（x）=ex-2，令ex-2=0，解得x=ln2．
经判断得到：g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时，g（x）取得最小值g（ln2）=2-1-2ln2=1-ln4＜0，
又g（2）=e2-5＞0，g（1）=e-3＜0，所以ex-1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且eb-2b-1=0．
可知：f（0）=0，f（b）=2b，满足题意，所以区间[0，b]是函数f（x）=ex-1的倍值区间．
③由
4x
x2+1
=2x解得x=0或1；又当0≤x≤1时，f′(x)=
4(1-x)(1+x)
(x2+1)2
≤0，所以函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以区间[0，1]是函数f（x）的倍值区间．
④要使函数f（x）有意义，则满足ax＞
1
8
，取a＞1，令loga(ax-
1
8
)=2x，则a2x-ax+
1
8
=0，解得ax=
2±
2
4
＞
1
8
．
由于函数y=logax在x＞0时单调递增，所以当a＞1时，函数f（x）在区间[
2-
2
4
，
2+
2
4
]上单调递增，所以区间[
2-
2
4
，
2+
2
4
]是函数f（x）的倍值区间．
综上可知①②③④皆正确．
故选A．
点评：考查新定义，以及二次函数、指数函数、对数函数、分式函数等的单调性与值域问题．另外还考查了函数的零点的判断及数形结合的思想方法．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）若f（2）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（2x-1）-3≤0．
若函数f（x）的定义域是[0，1），则F（x）=f[log 
12
(3-x)]的定义域为
 
．
已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）试讨论函数F（x）在定义域D上的单调性；
（3）若关于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．
若函数f（x）的定义域为（-1，1），它在定义域内既是奇函数又是增函数，且f（a-3）+f（4-2a）＜0，则实数a的取值范围是（　　）
若函数f（x）的定义域为[-1，2]，则函数
f(x+2)
x
的定义域为（　　）
A、[-1，0）∪（0，2]
B、[-3，0）
C、[1，4]
D、（0，2]

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