题目内容
已知点P(-1,
)是椭圆C:
+
=1(a>b>0)上一点F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
①求椭圆C的方程;
②设A、B是椭圆C上两个动点,满足
+
=λ
(0<λ<4,且λ≠2)求直线AB的斜率.
3 |
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
①求椭圆C的方程;
②设A、B是椭圆C上两个动点,满足
PA |
PB |
PO |
分析:①由于PF1⊥x轴,可得c=1,把点P(-1,
)代入椭圆的方程得
+
=1,又a2-b2=c2=1,联立解得a2,b2即可;
②设直线y=kx+m,与椭圆方程联立可得根与系数的关系,再利用向量运算和向量相等即可得出.
3 |
2 |
1 |
a2 |
9 |
4b2 |
②设直线y=kx+m,与椭圆方程联立可得根与系数的关系,再利用向量运算和向量相等即可得出.
解答:解:①∵PF1⊥x轴,∴c=1,把点P(-1,
)代入椭圆的方程得
+
=1,又a2-b2=c2=1,联立解得a2=4,b2=3.
∴椭圆C的方程为
+
=1;
②设直线y=kx+m,联立
,化为(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
∵直线AB与椭圆有两个不同的交点,∴△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,化为3+4k2-m2>0.(*)
∴x1+x2=-
.
∵满足
+
=λ
(0<λ<4,且λ≠2),
∴(x1+1,y1-
)+(x2+1,y2-
)=λ(1,-
),
∴x1+x2+2=λ,y1+y2-3=-
λ,
又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m,
∴k(x1+x2)+2m-3=-
(x1+x2+2),
∴(k+
)(x1+x2)+2m=0,
∴(k+
)×
+2m=0,
化为m(2k-1)=0,
若m=0,则直线AB经过原点,此时
+
=2
,λ=2,不符合题意,因此m≠0.
∴2k-1=0,解得k=
.
3 |
2 |
1 |
a2 |
9 |
4b2 |
∴椭圆C的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
②设直线y=kx+m,联立
|
∵直线AB与椭圆有两个不同的交点,∴△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,化为3+4k2-m2>0.(*)
∴x1+x2=-
8km |
3+4k2 |
∵满足
PA |
PB |
PO |
∴(x1+1,y1-
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
∴x1+x2+2=λ,y1+y2-3=-
3 |
2 |
又y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m,
∴k(x1+x2)+2m-3=-
3 |
2 |
∴(k+
3 |
2 |
∴(k+
3 |
2 |
-8km |
3+4k2 |
化为m(2k-1)=0,
若m=0,则直线AB经过原点,此时
PA |
PB |
PO |
∴2k-1=0,解得k=
1 |
2 |
点评:本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算与相等等基础知识与基本技能方法,属于难题.

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