题目内容

已知点P(-1,
3
2
)是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上一点F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
①求椭圆C的方程;
②设A、B是椭圆C上两个动点,满足:
PA
+
PB
PO
(0<λ<4,且λ≠2)求直线AB的斜率.
分析:①由PF1⊥x轴,可得F1(-1,0),可得c=1.由于点P(-1,
3
2
)是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上一点,可得
1
a2
+
9
4b2
=1
a2=b2+1
,解即可;
②设A(x1,y1),B(x2,y2).利用向量的运算和“点差法”及其斜率计算公式即可得出.
解答:解:①由PF1⊥x轴,可得F1(-1,0),∴c=1.
又点P(-1,
3
2
)是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上一点,可得
1
a2
+
9
4b2
=1
a2=b2+1
,解得b2=3,a2=4.
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

②设A(x1,y1),B(x2,y2).∵
PA
+
PB
PO
(0<λ<4,且λ≠2),
(x1+1,y1-
3
2
)+(x2+1,y2-
3
2
)
=λ(1,-
3
2
)

∴x1+x2=λ-2,y1+y2=-
3
2
λ+3
k=
y1-y2
x1-x2
.(*)
∵A、B是椭圆C上两个动点,∴
x
2
1
4
+
y
2
1
3
=1
x
2
2
4
+
y
2
2
3
=1

两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)
4
+
(y1+y2)(y1-y2)
3
=0,
把(*)代入得
λ-2
4
+
(-
3
2
λ+3)k
3
=0

∵λ≠2,0<λ<4,解得k=
1
2
点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和“点差法”及其斜率计算公式等基础知识与基本方法,属于难题.
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