题目内容
已知点P(-1,
)是椭圆C:
+
=1(a>b>0)上一点F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
①求椭圆C的方程;
②设A、B是椭圆C上两个动点,满足:
+
=λ
(0<λ<4,且λ≠2)求直线AB的斜率.
3 |
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
①求椭圆C的方程;
②设A、B是椭圆C上两个动点,满足:
PA |
PB |
PO |
分析:①由PF1⊥x轴,可得F1(-1,0),可得c=1.由于点P(-1,
)是椭圆C:
+
=1(a>b>0)上一点,可得
,解即可;
②设A(x1,y1),B(x2,y2).利用向量的运算和“点差法”及其斜率计算公式即可得出.
3 |
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
|
②设A(x1,y1),B(x2,y2).利用向量的运算和“点差法”及其斜率计算公式即可得出.
解答:解:①由PF1⊥x轴,可得F1(-1,0),∴c=1.
又点P(-1,
)是椭圆C:
+
=1(a>b>0)上一点,可得
,解得b2=3,a2=4.
∴椭圆C的方程为
+
=1;
②设A(x1,y1),B(x2,y2).∵
+
=λ
(0<λ<4,且λ≠2),
∴(x1+1,y1-
)+(x2+1,y2-
)=λ(1,-
),
∴x1+x2=λ-2,y1+y2=-
λ+3,k=
.(*)
∵A、B是椭圆C上两个动点,∴
+
=1,
+
=1,
两式相减得
+
=0,
把(*)代入得
+
=0,
∵λ≠2,0<λ<4,解得k=
.
又点P(-1,
3 |
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
|
∴椭圆C的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
②设A(x1,y1),B(x2,y2).∵
PA |
PB |
PO |
∴(x1+1,y1-
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
∴x1+x2=λ-2,y1+y2=-
3 |
2 |
y1-y2 |
x1-x2 |
∵A、B是椭圆C上两个动点,∴
| ||
4 |
| ||
3 |
| ||
4 |
| ||
3 |
两式相减得
(x1+x2)(x1-x2) |
4 |
(y1+y2)(y1-y2) |
3 |
把(*)代入得
λ-2 |
4 |
(-
| ||
3 |
∵λ≠2,0<λ<4,解得k=
1 |
2 |
点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和“点差法”及其斜率计算公式等基础知识与基本方法,属于难题.

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