Question

已知点P（-1，

3

2

）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
①求椭圆C的方程；
②设A、B是椭圆C上两个动点，满足：

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2）求直线AB的斜率．

Answer 1

分析：①由PF₁⊥x轴，可得F₁（-1，0），可得c=1．由于点P（-1，

3

2

）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，可得

1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+1

，解即可；
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用向量的运算和“点差法”及其斜率计算公式即可得出．

解答：解：①由PF₁⊥x轴，可得F₁（-1，0），∴c=1．
又点P（-1，

3

2

）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，可得

1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+1

，解得b²=3，a²=4．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∵

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2），
∴(x1+1，y1-

3

2

)+(x2+1，y2-

3

2

)=λ(1，-

3

2

)，
∴x₁+x₂=λ-2，y1+y2=-

3

2

λ+3，k=

y1-y2

x1-x2

．（*）
∵A、B是椭圆C上两个动点，∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
把（*）代入得

λ-2

4

+

(- 3 2 λ+3)k

3

=0，
∵λ≠2，0＜λ＜4，解得k=

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和“点差法”及其斜率计算公式等基础知识与基本方法，属于难题．