Question

已知点P（-1，

3

2

）是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；
（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）求出|PF₁|、|PF₂|，利用椭圆的定义，即可求得椭圆E的方程；
（2）利用

PA

+

PB

=λ

PO

确定坐标之间的关系，点的坐标代入方程，利用点差法，即可证得结论；
（3）设直线AB的方程与3x²+4y²=12联立消去y并整理，求出|AB|、点P到直线AB的距离，从而可得△PAB的面积利用导数法求最大值，即可得到结论．

解答：（1）解：∵PF₁⊥x轴，∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
∴|PF₂|=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2，∴b²=3，
∴椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；…（3分）
（2）证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由 

PA

+

PB

=λ

PO

得（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ）…①…（5分）
又3

x

2 1

+4

y

2 1

=12，3

x

2 2

+4

y

2 2

=12，
两式相减得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…．．②
以①式代入可得AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

=

c

a

=e；…（8分）
（3）解：设直线AB的方程为y=

1

2

x+t，与3x²+4y²=12联立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0，△=3（4-t²），
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+ 1 4

×

3(4-t2)

=

15

2

×

4-t2

，
点P到直线AB的距离为d=

2|t-2|

5

，
△PAB的面积为S=

1

2

|AB|×d=

3

2

×

4-t2

|t-2|，…（10分）
设f（t）=S²=-

3

4

（t⁴-4t³+16t-16）（-2＜t＜2），
f′（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f′（t）=0及-2＜t＜2得t=-1．
当t∈（-2，-1）时，f′（t）＞0，当t∈（-1，2）时，f′（t）＜0，f（t）=-1时取得最大值

81

4

，
所以S的最大值为

9

2

．
此时x₁+x₂=-t=1=λ-2，λ=3．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点差法，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，确定三角形的面积是关键．