Question

已知函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）+cos（

π

3

-2x）-1，
（1）求函数f（x）的最小正周期； 
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；
（3）求函数f（x）的单调递增区间；
（4）该函数的图象可以由y=sinx的图象怎样变换得到？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简整理后，利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．
（2）利用（1）中函数的解析式和正弦函数的性质求得函数取最大值和最小值时，x的值．
（3）根据正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．
（4）y═sinx向左平移

π

6

单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；再横坐标不变，纵坐标扩大为原来的4倍数；最后向上平移1个单位．

解答：解：（1）f（x）=3sin（2x+

π

6

）+cos（

π

3

-2x）-1
=3sin（2x+

π

6

）+cos[

π

2

-（

π

6

+2x）]-1
=3sin（2x+

π

6

）+sin（2x+

π

6

）-1=4sin（2x+

π

6

）-1
函数的周期为T=

2π

2

=π

（2）当2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

π

6

+kπ，k∈Z时，y_max=3
当2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

π

3

+kπ，k∈Z时，y_min=-5

（3）单增区间：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，即-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z
即x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z
（4）y═sinx向左平移

π

6

单位y=sin（x+

π

6

）纵坐标不变，
横坐标缩小为原来的一半y=sin（2x+

π

6

）横坐标不变，
纵坐标扩大为原来的4倍数y=4sin（2x+

π

6

）
向上平移1个单位y=4sin（2x+

π

6

）+1

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的基本性质，三角函数的图象变换．