Question

15．设|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，若向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用特殊值法设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，2），结合向量的基本运算进行转化求解即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，2），
则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1，2），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（1，-2），
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}=\sqrt{5}$，
∵向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
∴|$\overrightarrow{c}$-（1，2）|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$，
即向量$\overrightarrow{c}$的几何意义是以定点A（1，2）为原点，半径R=$\sqrt{5}$的圆，
则|$\overrightarrow{c}$|的几何意义圆上的点到圆的距离，
则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为|OA|+R=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
即|$\overrightarrow{c}$|的最大值为2$\sqrt{5}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查向量模长的计算，根据条件利用坐标法是解决本题的关键．