题目内容
设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x1，x2恒有f(
x1+
x2)＜
f(x1)+
f(x2)成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x2是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，记∫=a1+a2+a3+…+am，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．
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（1）试判断f（x）=x2是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，记∫=a1+a2+a3+…+am，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．
（1）∵f(
x1+
x2)-[
f(x1)+
f(x2)]=(
x1+
x2)2-(
x12+
x22)=-
x12-
x22+
x1x2
=-
(x1-x2)2-
x22＜0
∴对定义域中的任意两数x1，x2恒有f(
x1+
x2)＜
f(x1)+
f(x2)成立，
∴f（x）=x2是其定义域上的β函数；
（2）证明：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0
∴x1=x2=0时，f(
×0+
×0)=
f(0)+
f(0)
∴f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=
∈[0，1]，
∵f（x）是R上的α-β函数，an=f（n），且a0=0，am=2m，
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=
×2m=2n；
那么∫=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可知f（x）=2x是α-β函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时∫=m2+m．
综上所述，∫的最大值为m2+m．
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∴对定义域中的任意两数x1，x2恒有f(
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∴f（x）=x2是其定义域上的β函数；
（2）证明：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0
∴x1=x2=0时，f(
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∴f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=
| n |
| m |
∵f（x）是R上的α-β函数，an=f（n），且a0=0，am=2m，
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=
| n |
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那么∫=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可知f（x）=2x是α-β函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时∫=m2+m．
综上所述，∫的最大值为m2+m．
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