Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x-1
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且c=

7

，f（c）=0，sinB=3sinA，求△ABC的面积；
（3）若

π

3

＜α＜

π

2

，f（α）=-

1

5

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出f（x）的最小值；
（2）由C为三角形的内角，求出2C-

π

6

的范围，由f（C）=0，求出sin（2C-

π

6

）的值，利用特殊角的三角函数值求出2C-

π

6

的度数，进而确定出C的度数，求出cosC的值，再由c的值，利用余弦定理列出关于a与b的方程，利用正弦定理化简sinB=3sinA，得到a与b的另一个方程，联立两方程求出a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；
（3）由第一项确定的解析式及f（α）的值，求出sin（2α-

π

6

）的值，由α的范围求出2α-

π

6

的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α-

π

6

）的值，将所求式子sin2α的角2α变形为（2α-

π

6

）+

π

6

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
当2x-

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=kπ-

π

6

，k∈Z时，sin（2x-

π

6

）最小值为-1，
则f（x）取得最小值为-2；
（2）∵C为三角形的内角，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
又f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2C-

π

6

）=1，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，又c=

7

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-ab=（

7

）²=7，
将sinB=3sinA利用正弦定理化简得：b=3a，
解方程组

a2+b2-ab=7 b=3a

，得：a=1，b=3，
则S△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

；
（3）f（α）=sin（2α-

π

6

）-1=-

1

5

，即sin（2α-

π

6

）=

4

5

，
∵

π

3

＜α＜

π

2

，∴

π

2

＜2α-

π

6

＜

5π

6

，
∴cos（2α-

π

6

）=

1-sin2(2α- π 6 )

=-

3

5

，
则sin2α=sin[（2α-

π

6

）+

π

6

]=sin（2α-

π

6

）cos

π

6

+cos（2α-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．