题目内容
19．若函数f（x）=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$的定义域为（-1，1）．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明．
分析 （1）利用奇函数的定义，即可判断；
（2）利用导数的正负，即可讨论函数f（x）的单调性．
解答 解：（1）f（-x）=$\frac{-ax}{1-{x}^{2}}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（2）∵f（x）=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{a（1+{x}^{2}）}{1-{x}^{2}}$，
∴a＞0，函数在（-1，1）上f′（x）＞0，函数单调递增；
a＜0，函数在（-1，1）上f′（x）＜0，函数单调递减．
点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查导数知识的运用，属于中档题．
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4．已知函数f（x）满足：当x≥6时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）x；当x＜6时，f（x）=f（x+1），则f（$\frac{5}{2}$）的值为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{64}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{64}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{128}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{128}$ |