题目内容
12．求证：函数y=-x3-x在R上是减函数．（注：立方差公式a3-b3=（a-b）（a2+ab2））分析 根据减函数的定义，设x1，x2∈R，且x1＜x2，然后通过作差值，并用上立方差公式及提取公因式，便可证出y1＞y2，这样便得出原函数在R上为减函数．
解答 证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：
${y}_{1}-{y}_{2}=（-{{x}_{1}}^{3}-{x}_{1}）-（-{{x}_{2}}^{3}-{x}_{2}）$=$（{{x}_{2}}^{3}-{{x}_{1}}^{3}）+（{x}_{2}-{x}_{1}）$=$（{x}_{2}-{x}_{1}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}+1）$=$（{x}_{2}-{x}_{1}）[（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}+1]$；
∵x1＜x2；
∴x2-x1＞0，且$（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}+1＞0$；
∴y1＞y2；
∴原函数在R上是减函数．
点评 考查减函数的定义，利用减函数的定义证明一个函数为减函数的方法及过程，作差的方法比较两个变量的大小．
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