题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,求函数
的极值点;
(2)当时,证明:
在
上恒成立.
【答案】(1)是
的极大值点,无极小值点(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)先求导数,再求导函数在定义区间上的零点
,列表分析函数单调性变化趋势,确定极值(2)证明不等式,一般利用函数最值进行证明,而构造恰当的函数是解题的关键与难点,因为
,
在
上最多有一个零点,设
,则
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,而
,
,因此
试题解析:(1)由题意得,
当时,
在
上为增函数;
当时,
在
上为减函数;
所以是
的极大值点,无极小值点
(2)证明:令,
则,
令,则因为
,
所以函数在
上单调递增,
在
上最多有一个零点,
又因为,所以存在唯一的
使得
,
且当时,
;当
时,
,
即当时,
;当
时,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,从而
,
由得
即
,两边取对数得:
,
所以,从而证得
.
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