题目内容

给定以下命题:
(1)函数y=x+cosx在区间(-
π
2
π
2
)
上有唯一的零点;
(2)向量
a
与向量
b
共线,则向量
a
与向量
b
方向相同或是方向相反;
(3)若角α=β,则一定有tanα=tanβ;
(4)若?x0∈R,使f′(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处取得极大或是极小值.
则上述命题中,假命题的个数为(  )
分析:(1)对函数进行求导,研究函数的单调性,从而可判断函数y=x+cosx在区间(-
π
2
π
2
)
上有唯一的零点;
(2)当两个向量中有零向量时,结论不正确;(3)若角α=β=
π
2
,则tanα=tanβ不成立;
(4)f′(x0)=0,函数f(x)在x=x0的左右附近,导数符号不改变时,结论不成立.
解答:解:(1)求导函数y′=1-sinx.∵x∈(-
π
2
π
2
)
,∴y′>0,∴函数y=x+cosx在区间(-
π
2
π
2
)
上单调增
.∵x∈(-
π
2
π
2
)
,∴y∈(-
π
2
π
2
)
,∴函数y=x+cosx在区间(-
π
2
π
2
)
上有唯一的零点,故(1)是真命题;
(2)中未注意零向量,当两个向量中有零向量时,结论不正确,所以(2)为假命题,
(3)若角α=β=
π
2
,则tanα=tanβ不成立,故(3)为假命题;
(4)f′(x0)=0,函数f(x)在x=x0的左右附近,导数符号改变时,函数f(x)在x=x0处取得极大或是极小值,否则不成立,故(4)为假命题.
综上知,(2)(3)(4)为假命题
故选B.
点评:本题主要考查函数的零点,函数的极值,考查向量知识,考查三角函数,注意结论成立的条件是关键.
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