Question

有以下四个命题：
（1）2ⁿ＞2n+1（n≥3）；
（2）2+4+6+…+2n=n²+n+2（n≥1）；
（3）凸n边形内角和为f（n）=（n-1）π（n≥3）；
（4）凸n边形对角线条数f（n）=

n(n-2)

2

（n≥4）．
其中满足“假设n=k（k∈N，k≥n₀）．时命题成立，则当n=k+1时命题也成立．”但不满足“当n=n₀（n₀是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是

 

．

Answer 1

分析：对于命题（1）可以验证当n等于给定的初始值成立，所以不满足条件．
对于命题（2）容易验证假设n=k时命题成立，则当n=k+1时命题也成立．对于初始值n=1时，不成立．所以满足条件．
对于命题（3）容易验证假设n=k时命题成立，则当n=k+1时命题也成立．对于初始值n=3内角和为π，不成立．故满足条件．
对于命题（4）凸n边形对角线条数f（n）=

n(n-2)

2

，假设n=k时命题成立，当n=k+1时多了一条边，即多了一个顶点，故多了k个对角线，则可以验证当n=k+1时不成立．不满足要求．

解答：解：对于命题（1）2ⁿ＞2n+1（n≥3）；当n=3的时候有8＞7，故当n等于给定的初始值成立，所以不满足条件．
对于命题（2）2+4+6+…+2n=n²+n+2（n≥1）；假设n=k时命题成立，即2+4+6+…+2k=k²+k+2，当n=k+1时有2+4+6+…+2k+2（k+1）=k²+k+2+2（k+1）=k²+2k+1+k+3=（k+1）²+（k+1）+2．故对n=k+1时命题也成立．对于初始值n=1时有4≠4+2+2，不成立．所以满足条件．
对于命题（3）凸n边形内角和为f（n）=（n-1）π（n≥3）；假设n=k时命题成立，即f（k）=（k-1）π，当n=k+1时有f（k+1）=
f（k）+π=kπ故对n=k+1时命题也成立，对于初始值n=3内角和为π，不成立．故满足条件．
对于命题（4）凸n边形对角线条数f（n）=

n(n-2)

2

，假设n=k时命题成立，即f（k）=

k(k-2)

2

，当n=k+1时有f（k+1）=f（k）+k=

k(k-2)

2

+k=

k2

2

≠

(k+1)(k-1)

2

，故不满足条件．
故答案为（2）（3）．

点评：此题主要考查数学归纳法的验证过程，属于概念性试题，有一定的计算量，对学生灵活应用能力要求较高，属于中档题目．