Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
（1）求证：CD⊥平面CPAC；
（2）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所E，F成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$便得到AB⊥AC，从而CD⊥AC，而由PA⊥底面ABCD便得到CD⊥PA，由线面垂直的判定定理从而得出CD⊥平面PAC；
（2）三条直线AB，AC，AP两两垂直，从而可以这三条直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可求出A，B，C，D，M，P的坐标．可设N（x，0，0），平面MAB的法向量设为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，而由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，设直线CN和平面MAB所成角为α，从而由$sinα=cos（\frac{π}{2}-α）=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CN}＞|$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$即可求得x，从而求出AN，NB，从而求出$\frac{AN}{NB}$．

解答 解：（1）证明：AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$；
∴AB⊥AC；
CD∥AB；
∴CD⊥AC；
PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD；
∴PA⊥CD，即CD⊥PA，AC∩PA=A；
∴CD⊥平面PAC；
（2）如图以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系；

则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0）；
因为M是棱PD的中点；
所以M（-1，1，1）；
∴$\overrightarrow{AM}=（-1，1，1）$，$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$；
设$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$为平面MAB的法向量；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{z=-y}\end{array}\right.$，令y=1，则$\overrightarrow{n}=（0，1，-1）$；
∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），（0≤x≤2），$\overrightarrow{CN}=（x，-2，0）$；
设直线CN与平面MAB所成角为α；
因为平面MAB的法向量$\overrightarrow n=（0，1，-1）$；
所以sinα=$cos（\frac{π}{2}-α）$=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CN}＞|$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
解得x=1，或-1（舍去）；
∴AN=1，NB=1；
所以 $\frac{AN}{NB}=1$．

点评 考查直角三角形边的关系，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角的方法，能求空间点的坐标，理解平面法向量的概念，两向量垂直的充要条件，以及直线和平面所成角和直线的方向向量和平面法向量夹角的关系，两向量夹角余弦的坐标公式．