题目内容
6．（1）已知数列{an}中，a1=2，前n项之和An满足An=$\frac{1}{4}$（an2+2an），且an＞0，求An；（2）若数列{bn}的前n项之和为Bn，且通项bn满足log2an-log2bn=n+1+log2n，求Bn．
分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）由log2an-log2bn=n+1+log2n，利用对数的运算性质可得：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n•2n+1，再利用（1）可得：bn=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：（1）∵An=$\frac{1}{4}$（an2+2an），
∴当n≥2时，${A}_{n-1}=\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}）$，
∴an=$\frac{1}{4}$（an2+2an）-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}）$，
化为（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是等差数列，首项为2，公差为2，
∴An=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n2+n．
（2）∵log2an-log2bn=n+1+log2n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=n•2n+1，
由（1）可得：an=2+2（n-1）=2n，
∴$\frac{2n}{{b}_{n}}=n•{2}^{n+1}$，
∴bn=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列{bn}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
其前n项之和为Bn=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
同步练习强化拓展系列答案
如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明EM⊥BF；
（2）求三棱锥E-ABF的体积．
| x | -4 | -1 | -$\frac{1}{2}$ | 0 |
| y | -8 | $\frac{3}{2}$ | 2$\sqrt{2}$ | $\sqrt{3}$ |
（Ⅱ）求以线段OM为直径且被直线5x+12y-9=0截得的弦长为4的圆C的方程；
（Ⅲ）过点F斜率为k（k≠0）的直线l与C1交于P、Q两点，与圆C交于A、B两点．问：是否存在直线l，使得线段PQ与线段AB有相同的中点？请说明理由．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．