Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD为菱形，A点E为AD的中点，若BE=PE．

（1）求证：PB⊥BC；
（2）若∠PEB=120°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由BE=PE，AB=PA，AE=AE，得△AEP≌△AEB，

∴∠EAB=60°，且AD⊥BE，

又∵AD⊥PE，

∴AD⊥平面PBE，

∵PB平面PBE，得AD⊥PB，

又AD∥BC，

∴PB⊥BC．

（2）解：如图，过P作PO⊥平面ABCD，交BE延长线于O，

以O为坐标原点，过O作DA的平行线为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

P（0，0， ），B（0， ，0），PB的中占点G（0， ， ），连结AG，

又A（1， ，0），C（﹣2， ，0），由此得到 =（1，﹣ ，﹣ ），

=（0， ）， =（﹣2，0，0），

∴ =0， =0，

∴ ， ，

∵ 的夹角为θ等于所求二面角二面角A﹣PB﹣C的平面角，

∴cos = =﹣ ．

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）推导出∠EAB=60°，且AD⊥BE，AD⊥PE，从而AD⊥平面PBE，进而AD⊥PB，由此能证明PB⊥BC．（2）过P作PO⊥平面ABCD，交BE延长线于O，以O为坐标原点，过O作DA的平行线为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．