题目内容
【题目】已知函数(
)在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)记两个极值点分别为,
(
),求证:
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,将函数由两个不等极值转化为导函数有两个不等零点,再进一步转化为两函数图象的交点问题;(Ⅱ)合理构造函数,将证明不等式转化为求函数的最值问题,再利用导数进行求解.
试题解析:(Ⅰ)依题,函数的定义域为
,所以方程
在
有两个不同根,即方程
在
有两个不同根.即函数
与函数
的图象在
上有两个不同交点,可见,若令过原点且切于函数
图象的直线斜率为
,只须
.令切点
,所以
,又
,所以
,
解得, ,于是
,所以
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
分别是方程
的两个根,即
.
作差得, ,即
.
所以不等式,等价于
,
下面先证,即证
,
令,∵
,∴
,即证
(
),
令(
),则
,
∴在
上单调递增,∴
,
即得证,从而
得证;
再证,即证
,即证
(
),
令(
),则
,
∴在
上单调递减,∴
,
即得证,从而
得证,
综上所述, 成立,即
.
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